espacios vectoriales

Espacios vectoriales: cambio de base

Muchas de las aplicaciones del álgebra lineal a la física, ingeniería, ciencias sociales, etc., pueden formularse de manera sencilla si se elige el sistema de coordenadas apropiado. También, los problemas de espacios vectoriales pueden simplificarse eligiendo una base adecuada. En la clase de hoy estudiaremos las coordenadas de un vector con respecto a una base fija, veremos que esas coordenadas cambian al cambiar la base del espacio y estudiaremos las relaciones que vinculan las coordenadas de un vector con respecto a diferentes bases.

Empezaremos con un ejemplo; tomemos   B = { (1,0,-1), (-1,1,0), (1,1,1) } como base de (3 y w = (2,-3,4) un vector en (3. Expresaremos w como combinación lineal de B

-¿porqué esto es posible para cualquier w en (3?.

Es decir, queremos encontrar escalares (, (, ( tales que

(2,-3,4)=((1,0,-1)+((-1,1,0)+((1,1,1)

lo cual nos lleva al sistema de ecuaciones,
( - (+( = 2
    (+( =-3
-(   +(   = 4,   cuya matriz aumentada es

[pic]

-¿Son los escalares (, (, (   únicos?
-¿Puede eliminar algún vector de B y todavía escribir w como combinación lineal de ese subconjunto?

En general tenemos el siguiente

Teorema 1:

Si (V,+,.) es un espacio vectorial de dimensión finita y B={v1, v2,...,vn} es una base de V, entonces para cada w(V, existen escalares únicos (1, (2,...,(n tales que w=(1v1+(2v2+...+(nvn.

La existencia   es debida a que una base es generadora del espacio y la unicidad es por el hecho de que la base es un conjunto linealmente independiente. En efecto, supongamos que w se puede escribir de dos maneras como una combinación lineal de v1, v2,...,vn; es decir,

w =(1v1+(2v2+...+(nvn = (1v1+(2v2+...+(nvn,   entonces,

((1-(1)v1 + ((2-(2)v2 +...+ ((n-(n)vn= 0 y como v1, v2,...,vn son l.i.

entonces (1 = (1, (2 = (2,..., (n = (n.

Estos escalares únicos tienen un nombre propio: coordenadas de w con respecto a la base B.