jueves, 7 de febrero de 2013


Preliminares
Una funci´on real f definida en un subconjunto de En es continua e x si
xk ! x implica que f(xk) ! f(x). El teorema de Weierstrass dice que una
funci´on f continua definida en un compacto S tiene un punto m´ınimo en S;
esto es, que hay un x 2 S tal que para todo x 2 S, f(x) f(x ).
Un conjunto de funciones relaes f1, . . . , fm en En puede considerarse una
funci´on vectorial f = (f1, . . . , fm). Esta funci´on asigna un vector f (x) =
(f1(x), f2(x), . . . , fm(x)) en Em a cada vector x 2 En. Tal funci´on, con valores
vectoriales, es continua si cada una de sus componentes es continua.
Si cada una de las componentes de f = (f1, f2 . . . , fn) es continua en alg´un
conjunto abierto de En escribimos que f 2 C. Si adicionalmente cada una
de las componentes tiene derivadas parciales continuas de orden p escribimos
f 2 Cp.
Si f 2 C1 es una funci´on real en En, f(x) = f(x1, . . . , xn), definimos el
3
gradiente de f como
rf(x) =
"
@f(x)
@x1
, · · · ,
@f(x)
@xn
#
En ocasiones empleamos la nomtaci´on alternativa fx(x) en lugar de rf(x).
En los c´alculos matriciales se considera que el gradiente es un vector fila.
Si f 2 C2 entonces se define el Hessiano de f en x como la matriz de
n × n denotada r2f(x) o F(x) como
F(x) =
"
@2f(x)
@xi@xj
#
y es f´acil ver que el Hessiano es una matriz sim´etrica.
Para una funci´on que toma valores vectoriales f = (f1, f2, . . . , fm) la
situaci´on es similar. Si f 2 C1 la primera derivada se define como la matriz
de m × n
rf (x) =
"
@fi(x)
@xj
#
Si f 2 C2 es posible definir los m Hessianos F1(x), · · · ,Fm(x) que corresponden
a las m funciones componentes.
1.1.1. Teorema de Taylor
Si f 2 C1 en una regi´on que contiene el segmento [x1, x2] entonces existe
un valor , 0 1 tal que
f(x2) = f(x1) + rf( x1 + (1 − )x2)(x2 − x1)
y si f 2 C2 entonces existe un valor , 0 1 tal que
f(x2) = f(x1) +rf(x1)(x2 − x1) +
1
2
(x2 − x1)TF( x1 + (1 − )x2)(x2 − x1)
donde F es el Hessiano de f.
4
1.2. Condiciones de primer orden necesarias
La primera cuesti´on que se estudia en un problema de minimizaci´on es
si su soluci´on existe. El primer resultado que puede usarse es el teorema de
Weierstrass, que establece que si f es continua y
 es un compacto existe una
soluci´on. De cualquier modo, este resultado no nos dice nada acerca de los
m´etodos para caracterizar soluciones ni para encontrarlas de forma efectiva.
En un problema general de optimizaci´on deben distinguirse dos clases de
soluciones: los m´ınimos locales y los m´ınimos globales.
Definici´on: 1.2.1 Un punto x 2
 es un m´ınimo relativo o un m´ınimo
local de f en
 si existe un > 0 tal que f(x) f(x ) para todo x 2

en una bola abierta de radio centrada en x. ( Si f(x) > f(x ) el m´ınimo
relativo es estricto)
Definic

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